Frühe Rechenhilfen

  ... (analoges: Rechenstäbe Proportionalwinkel/-zirkel, digitales: Rechenpfennige/"Rechnen auf der Linie", Napier/Genaille, ...; Kugelrechner/Abakus siehe dort; die erste Addiermaschine mit Multipliezierhilfe) ...

 

Die hier vorgestellten Rechenhilfen aus meiner Sammlung entsprechen in ihrer Funktion den bis 1800 verwendeten Rechenhilfen, auch wenn einige erst nach 1900 hergestellt wurden:

a) Proportionalzirkel

b) Proportionalwinkel

c) Rechnen auf der Linie: Rechenpfennige und Rechentuch

d) Rechenstäbe nach Napier

e) Rechenstäbe nach Genaille-Lucas

 

Beendet wird diese Übersicht mit der ersten Rechenmaschine, einer Addiermaschine mit Napier-Multiplikationshilfe, und zwar 

f) Schickards Rechenmaschine von 1623

 

Die ab dem 17. Jhdt. verbreiteten Rechenscheiben als Multiplikationshilfe finden sich eben dort. Die bereits seit der Antike bekannten Abaci bei den Kugelrechnern.

 

a) Proportionalzirkel nach Bürgi

Mit dem Proportionalzirkel können Strecken in einem bestimmten, einstellbaren Verhältnis geteilt bzw. vervielfältigt werden. Mit den beiden Skalen des Geräts ist es möglich, Strecken in 2 bis 10 und Kreise in 3 bis 20 gleiche Teile aufzuteilen. Ebenso kann der Proportionalzirkel dazu verwendet werden, Zeichnungen maßstäblich zu vergrößern oder zu verkleinern. 

Als Erfinder gilt Jost Bürgi (etwa 1600). Der verstellbar Proportionalzirkel nach Bürgi geht zurück auf den schon im Altertum verwendeten Reduktionszirkel mit festen Schenkellängen bzw. Teilungsverhältnis (siehe unten Abb. 1: links römischer 1:2 Reduktionszirkel). 

Link: Das "Instrumentum Architecturae" von Balthasar Neumann mit Überblick über Proportionalwinkel und -zirkel;

Übersicht und Anleitung in www.rechenwerkzeug.de

 

a) Abb. 2-5:

Proportionalzirkel "U.S." 7,5 inch 

hergestellt von n.n., wohl USA; Baujahr ?

19,25 cm lang; 74 gr.

Verhältnis 1:2 bis 1:10 sowie 3/5, 2/3, 3/4

in Box (ohne Beschriftung)

evtl. ehemals in der U.S.-Marine im Einsatz

b) Abb. 6-8:

Proportionalzirkel Replik 6 inch 

hergestellt von n.n., Indien

Baujahr um 2000 (Reproduktion aus Indien)

15,5 cm lang; 60 gr.; teil-vermessingt

Verhältnis 1:1 bis 1:10 

b) Proportionalwinkel nach Galileo

Proportionalzirkel (franz. Compas de proportion, engl. Sector) nach dem von Galilei beschriebenen Prinzip waren universelle Rechengeräte primär im 17. und 18. Jahrhundert; produziert/verwendet wurden sie etwa von 1600 bis Anfang 20 Jhdt. Auf den Schenkeln sind lineare und ggf. Funktionenskalen aufgetragen. Am geöffneten Proportionalwinkel können mit einem Stech-zirkel Strecken abgetragen werden, so dass auf Basis der Strahlensätze Verhältnisgleichungen gelöst werden können.

Aufgrund der geringen Abnutzung der erhaltenen Expl. wurden sie wohl kaum benutzt. Proportionalzirkel waren zwar immer in den Instrumenten-sets des 19.Jhdt. enthalten, aber man kann bezweifeln, dass mit ihnen häufig gerechnet wurde.

Link: Übersicht und Anleitung in www.rechenwerkzeug.de

a) großer Proportionalwinkel (Bilder 1-6):

hergestellt von J. Rabone & Sons, Hockley Abbey Works, Birmingham, England

Modell: Two feet, two fold Carrett's Engineers' Rule (System W.E. Carrett Engineer, Leeds, Improved Rule mit integriertem Rechenschieber)

31,7x4,3x0,35 cm; Skalenlänge 2x28 cm (ausgeklappt als Lineal 60,8 cm bzw. 24 inch / 2 feet); 107 gr.

Aus Holz (Buchsbaum) mit Messing-Gelenk und -Rechenschieber-Zunge. 

Die Fa. Rabone&Sons stellte von 1784 bis Anfang des 20. Jhdt. Messinstrumente wie Barometer, Hygrometer, Lineale, Wasserwaagen und Messschieber her.

Dieses Modell ist im Katalog von 1878 auf S. 17 als No. 2431 enthalten

(Bild 7). Link: Katalog/Preisliste 1878

b) kleiner Proportionalwinkel (Bilder 1-3 und 8+9):

hergestellt von Horne&Co., London, England

15,9x3,5x0,3 cm; Skalenlänge 2x14,8 cm, ausgeklappt als Lineal 30,3 cm bzw. 1 foot*; 25 gr.; aus Holz (Buchsbaum)

produziert um 1850

Die Fa. Horne, Thornthwaite und Wood stellte von 1841 bis 1913 Mess- und optische Instrumente (bes. Photographie und Mikroskopie) her. Fallon Horne starb bereits 1858. Die Fa. firmierte um 1850 als Horne&Co.

*zu foot: hier wohl die alte engl. Einheit foot zu ca. 30,3 cm (seit 1959: 30,48 cm); interessanterweise ist das Lineal in 100stel foot eingeteilt, nicht in 12 inch.

c) Rechenpfennige (Rechnen auf der Linie)

Rechenpfennige waren keine Münzen oder Zahlungsmittel. Sie wurden für die "Rechnung auf der Linie" benutzt, wie sie bspw. im Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hand von Adam Risen (1574) beschrieben ist.

Link: Adam Ries – Rechnung auff der linihen von Tino Hempel

 

Vergleiche auch die Salaminische Tafel von ca. 300 v.Chr. mit ähnlicher Rechenweise. Das Rechnen mit Rechensteinen (Calculi, Tokens) war bereits in den antiken Hochkulturen verbreitet.

Lit.: Paulys Realencyclopädie der classischen Altertumswissenschaft, 1893 und Die Rechentafel der Alten von Alfred Nagl, 1914 (über ägyptische, griech. und römische Rechentafeln und deren Anwendung; inkl. kritischer Auseinander-setzung und Korrektur von Paulys Eintrag Abacus in der vorgenannten Encyclopädie).

Rechenpfennig 16. Jhdt. Nürnberg

Bilder folgen

hergestellt vom Münzmeister Hanns Rauwinckel, Nürnberg

produziert im 16. Jahrhundert

Durchmesser: 2,5 cm

Text auf der Vorderseite: HANNS RAVWINCKEL.GOTESS; auf der Rückseite: RECHEN.PFENING.NVRENBER.

Rechentuch, bayerisch, um 1700

Bilder und Beschreibung folgen

Bayerisches Rechentuch um 1700

ca. 68 x 39 cm

Replik aus dem Museumsshop Landesmuseum Bayern

Le Kit "Calculus"

Begleitmaterial zur Wanderausstellung Homo Calculus des Greco Informatique aus Talence bei Bordeaux, 1995.

Organisation bzw. Ausstellung/Material offenbar nicht mehr existent bzw. verfügbar; Preisangaben im Internet noch in Franc: Leihgebühr 15.000 Franc/Monat, Begleitmaterial 32,50 Franc/Expl.; in der virtuellen Ausstellung finden sich aber immer noch einige interessante Infos (alles frz.). 

Das Set beinhaltet Material und Repliken aus Kartonpapier zu den drei frühen Rechenhilfen Rechenpfennige (Bilder 3+4), Napier- sowie Genaille-Rechenstäbe (s.u.).

Set mit 30 Rechenpfennigen und 20 Rechenstäben (eine Seite Napier, die andere Genaille), ausführliche Anleitung und Info zur Ausstellung. Beworben mit une nouvelle pédagogie (eine neue Pädagogik).  

d) Rechenstäbe nach Napier (1614)

John Napier, schottischer Mathematiker (1550-1617) erarbeitete die Grundlagen für die Logarithmen (u.a. Basis für die Rechenschieber) und stellte in seinem Buch Rabdologia 3 Rechenhilfen vor, von denen die Rechenstäbe die weiteste Verbreitung fanden und Bestandteil der ersten Rechenmaschine waren (Schickard). Mit ihnen konnte man multiplizieren, dividieren und radizieren.

Prinzip der Multiplikation: auf jedem Napier-Stab sind die Ergebnisse der Multiplikation der jeweils oben angegeben Ziffer (Multiplikator) mit 1, 2, 3 ... 9 (Multiplikant) angegeben. Für jeden Multplikant wird das Produkt getrennt nach Einerstelle (rechts unten) und Zehnerstelle (links oben) dargestellt. Bei mehrstelliger Multiplikation einfach die richtigen Stäbe mit den entsprechenden Ziffern für den Multiplikator nebeneinander legen und die Ergebnisse für die Multiplikation in der Zeile des Multiplikanten ablesen: dazu für jede Stelle die Zehnerstelle der nächstniedrigeren Stelle zur jeweiligen Einerstelle addieren (siehe Beispielrechnungen und Fotos unten).

Einfach und genial: Die Napier-Stäbe sind technisch nichts anderes als eine variabel kombinierbare 1x1-Tabelle.

Häufig wurden sie auch zylinderförmig gestaltet, so dass dann alle 10 Ziffern auf einem Zylinder und nicht nur 4 Ziffern auf einem Stab enthalten waren. Beispiele dafür sind die Schickard-Rechenmaschine (1624) und der Schott-Rechenkasten (um 1660).

Bei der Leupoldischen-Neper-Rechenmaschine (1727) sind sie als 10-eckige, nebeneinandere angeordneten Scheiben montiert.

 

Links: www.tinohempel.de/info/mathe/napier/napier.htm;

www.mechrech.info/workmod/workmod.htm

www.mechrech.info/exhibit/eNeper/eNeper1.html;
www.collectanea.eu

Literaturliste: www.mechrech.info/library/library.html

Napiersche Rechenstäbchen (Replik 1998)

Replik, hergestellt für ConVatec-Wundversorgung als Werbemittel, 1998

Box 20x15x5,5 cm mit 16 Stäben à 11,3x0,9x0,9 cm; 500 g; mit Anleitung

Prinzip: s.o. In Foto 2 ist die Multiplikation von 242 mit 1, 2, 3 ... 9 dargestellt: 2x242=484; 4*242=968; 7X242=1694.

Rechenkasten von Schott (1668; Replik 2016)

Replik, hergestellt 2016, NL

21,5x16,8x8,9 cm; 1080 gr.

Von Caspar Schott 1668 in seinem Werk Organum Mathematicum beschrieben; dort nova cistula (kleines Kästchen) bezeichnet.

Schott kam wohl als erster auf die Idee die Napierschen-Rechenstäbe, die nur 4 Seiten für eben nur 4 Ziffern hatten und bei denen das Finden und Zusammenstellen der richtigen Ziffern für den Multiplikanden etwas aufwändig war, in Zylinder umzuformen, die jeweils alle 10 Ziffern beinhalteten. Dadurch war das Einstellen des Multiplikanden erheblich einfacher, aber das Ablesen wurde wegen der relativ großen Abstände zwischen den Zylindern etwas schwieriger.

Details/Quelle: Die Rechenkästen nach Schott und ihre Simulation

Rechenscheiben von Poetius (1728) und Prahll (um 1790)

Im 18. Jhdt. wurden dann die Napierschen-Rechenstäbe auf Rechenscheiben aufgebracht, zuerst von J.M. Poetius 1728 unter dem Namen Mensula Pythagorica, um 1790 auch von  F.X.M. Prahll als Machina arithmetica portabilis. Weitere Infos siehe bei Drehrechnern.

Le Kit "Calculus"

s.o. bei Rechenpfennige. Dort unter Le Kit "Calculus" Bilder 5+6.

Omega Rechenmaschine und Omega Calculating Machine

hergestellt von Justin Wilhelm Bamberger Co., München

Kombination aus Zahlenschieber mit 9x9 Stellen (A) und Napier-Multiplikation mit 8x9 Stellen (B), Speicherwerk mit 5x10 Stellen

hergestellt ab 1905 bis vor 1910(?); Preis (1906): 18 Mark

46x14x5,5 cm (Kasten); 730 g ohne / 1,7 kg mit Kasten

Abgebildet sind das Modell Omega Rechenmaschine für den deutschsprachigen Markt (Bilder 1-13, ab Bild 9 zerlegt/offen [verkauft]) und das Exportmodell Omega Calculating Machine mit Zusatz Machine à Calculer Omega (Bilder 14-20).

 

A) Äußerst simpler Zahlenschieber zum Addieren und Subtrahieren:

Stäbe mit Ziffern zum Schieben mit punktförmigen Erhebungen, an denen der Finger angreifen kann. Rechts daneben runde Ergebnis-Schaulöcher. Ohne Zehnerübertrag, auch nicht quasi-automatisch wie beim Zahlenschieber: beim Überschreiten der 9 musste man mit dem Finger nach links zurückfahren und bei dem höherwertigen Stab 1 addieren. Vergleiche mit The Locke Adder.

 

B) Multiplikation und Division nach dem Prinzip der Napier-Rechenstäbe (s.o.). In Foto 5 ist die Multiplikation von 64 mit 1, 2 und 3 dargestellt: 2x64=128, 3x64=192.

 

Zum Vorgängermodell Bamberger Universal von 1903/04, das nur aus dem Additionsteil besteht, gibt es das DRGM 195509 mit folgendem Eintrag im Patentblatt vom 01.04.1903: "Aus einzelnen Schiebern für je einen Stellenwert zusammengesetzter Rechenapparat mit Festhaltevorrichtung für die Einstellung der Schieber und an der Oberfläche sichtbarem Resultat. Justin Wilhelm Bamberger, München, Neuhauserstr. 49 23/3 03 - B. 21 439."

 

Dagegen wurden die erwähnten eingereichten Patente offenbar nicht erteilt.

Link: Infos zur Fa. Bamberger

Theutometer (Bastelset)

hergestellt von Merkur-Verlag-Rees, Wehingen

ca. DIN A5-Format

produziert um 1908

Bastelbögen zur Herstellung von 15 Napier-Rechenstäben à 1x1 cm. Sie wurden wohl zur Verkaufsförderung "Theutometer" und "ägyptischer Rechenstab" genannt; Napier wird nicht erwähnt. 

Auto-Calcul ROULOIS

mit erweitertem Wertebereich bis 99. Siehe unter Tabellenwerke.

e) Rechenstäbe zur Division nach Genaille-Lucas

"Réglettes Multisectrices" von Henri Genaille und Edouard Lucas (Nachbau und Geschenk eines netten Sammlerkollegen)

vertrieben im Original ab ca. 1885 durch Librairie Eugène Belin, Paris, F

19x29x3 cm (Stab: 26,5x1,5x1,5 cm); 775 g; mit Kurzanleitung

Ähnliches Prinzip wie bei den Napier-Stäben, d.h. die Stäbe enthalten die Ergebnisse der Division. Die Stäbe kombiniert man so nebeneinander, dass die Kopfzeile den Dividenden ergibt. In der Spalte des Divisors beginnt man links bei der obersten Ziffer, folgt der Linie und erhält so sofort das Ergebnis der Division und ggf. einen Rest.

Es gab auch eine Version zum Multiplizieren (Réglettes Multiplicatrices) und eine für Finanzrechnungen (Réglettes Financières).

Die Genaille-Lucas-Stäbe gehören natürlich zeitlich nicht in diese Rubrik, haben aber beim Gebrauch sehr große Ähnlichkeit zu den Napier-Rechenstäben.

Literatur-Link: Die Dividierstäbe und die Finanzrechenstäbe von Genaille und Lucas von Stephan Weiss 

Le Kit "Calculus"

s.o. bei Rechenpfennige. Dort unter Le Kit "Calculus" Bilder 7+8.

f) Schickards Rechenmaschine von 1623

Natürlich ein Nachbau, und zwar von 2016 eines Sammlerkollegen aus den NL, bei dem für das Addierwerk ein Addometer verwendet wurde.

Ein Original der von Wilhelm Schickard, Tübingen, 1623/24 gebauten beiden Maschinen ist nicht erhalten; Kenntnis über die Maschinen erhielt man aus einem Briefwechsel (mit Skizze) von Schickard mit Kepler.

27x31x20 cm (mit Schieber 36 cm breit); 2,5 kg

 

Bei diesem Nachbau geht es nur darum, die Anwendung zu demonstrieren. Das hier aus dem Scheibenaddierer Addometer bestehende 6-stellige Additionswerk inkl. Zehnerübertrag ist technisch und optisch sicher nicht originalgetreu, die Multiplizierhilfe nach Napier (s.o.) auf Zylindern schon eher. Dazu kommt noch ein einfaches Speicherwerk vor dem Scheibenaddierer.

Weitere Infos/Links siehe www.rechnerlexikon.de/artikel/Schickard_Maschine